Завдання № 17.25

№ 17.25 Алгебра = № 34.25 Математика

Розв’яжіть рівняння:

1) $6+10+14+\ldots+(4x-2)=448$;

2) $33+30+27+\ldots+x=195$.

1) $6+10+14+\ldots+(4x-2)=448$.

Числа $6$; $10$; $14$; …; $4x-2$ утворюють арифметичну прогресію, у якої $a_{1}=6$, $d=4$.

Знайдемо кількість її членів.

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$4x-2=6+(n-1)\cdot4$

$4x-2=6+4n-4$

$4n=4x-4$

$n=x-1$.

Знайдемо суму її членів:

$\frac{6+(4x-2)}{2}\cdot(x-1)=448$

$6x-6+(4x-2)(x-1)=896$

$6x-6+4x^{2}-6x+2=896$

$4x^{2}=900$

$x^{2}=225$

$x_{1}=15$, $x_{2}=-15$ — не задовольняє умову (кількість членів $n=x-1$ має бути натуральним числом).

2) $33+30+27+\ldots+x=195$.

Числа $33$; $30$; $27$; …; $x$ утворюють арифметичну прогресію, у якої $a_{1}=33$, $d=-3$.

Знайдемо кількість її членів:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$x=33+(n-1)\cdot(-3)$

$x=33-3n+3$

$x=36-3n$

$n=\frac{36-x}{3}$.

Знайдемо суму її членів:

$\frac{33+x}{2}\cdot\frac{36-x}{3}=195$

$(33+x)(36-x)=1170$

$1188+3x-x^{2}=1170$

$x^{2}-3x-18=0$

$x_{1}=-3$, $x_{2}=6$.

Якщо $x=-3$, то $n=\frac{36+3}{3}=13$;

якщо $x=6$, то $n=\frac{36-6}{3}=10$.

Обидва значення $n$ натуральні, тому обидва корені задовольняють умову.

1) $15$; 2) $-3$ або $6$.