Завдання № 17.26

№ 17.26 Алгебра = № 34.26 Математика

Розв’яжіть рівняння:

1) $7+11+15+\ldots+(4x-1)=297$;

2) $11+8+5+\ldots+x=-221$.

1) $7+11+15+\ldots+(4x-1)=297$.

Це арифметична прогресія, в якій $a_{1}=7$, $d=4$.

Знайдемо кількість її членів:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$4x-1=7+(n-1)\cdot4$

$4x-1=7+4n-4$

$4n=4x-4$

$n=x-1$

Знайдемо суму її членів:

$\frac{7+(4x-1)}{2}\cdot(x-1)=297$

$(4x+6)(x-1)=594$

$4x^{2}-4x+6x-6=594$

$4x^{2}+2x-600=0$

$2x^{2}+x-300=0$

$D=1+4\cdot2\cdot300=2401$

$x_{1}=\frac{-1+49}{4}=\frac{48}{4}=12$

$x_{2}=\frac{-1-49}{4}=-\frac{50}{4}=-12{,}5$ — не задовольняє умову задачі (кількість членів має бути натуральним числом).

2) $11+8+5+\ldots+x=-221$.

Це арифметична прогресія, в якій $a_{1}=11$, $d=-3$.

Знайдемо кількість її членів:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$x=11+(n-1)\cdot(-3)$

$x=11-3n+3$

$3n=14-x$

$n=\frac{14-x}{3}$

Знайдемо суму її членів:

$\frac{11+x}{2}\cdot\frac{14-x}{3}=-221$

$(11+x)(14-x)=-1326$

$154-11x+14x-x^{2}=-1326$

$-x^{2}+3x+154+1326=0$

$-x^{2}+3x+1480=0$

$x^{2}-3x-1480=0$

$D=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-1480)=$

$=9+5920=5929=77^{2}$

$x_{1}=\frac{3+77}{2}=40$

$x_{2}=\frac{3-77}{2}=-37$

Оскільки прогресія спадна ($d=-3$), то $x$ має бути меншим за $11$. Отже, $x=40$ не задовольняє умову.

1) $12$; 2) $-37$.