№ 17.33 Алгебра = № 34.33 Математика
Побудуйте графік функції
$y=\frac{x^{3}+3x^{2}}{x+3}+\frac{x^{2}-4x+4}{x-2}$
Розв’язок:
Область визначення функції: $x+3\neq0$, $x\neq-3$, $x-2\neq0$, $x\neq2$.
$y=\frac{x^{2}(x+3)}{x+3}+\frac{(x-2)^{2}}{x-2}=$
$=x^{2}+x-2$
Графіком функції $y=x^{2}+x-2$ є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Знайдемо координати її вершини:
$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot1}=-\frac{1}{2};$
$y_{\text{в}}=\left(-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{1}{2}-2=$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-2\frac{1}{4}.$
Точка $\left(-\frac{1}{2};-2\frac{1}{4} \right)$ — вершина параболи.
Тоді пряма $x=-\frac{1}{2}$ є віссю симетрії параболи.
Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=-\frac{1}{2}$:
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $4$ | $0$ | $-2$ | $-2$ | $0$ | $4$ |
При $x=-3$ і $x=2$ функція не визначена.
Тому точки $(-3;4)$ і $(2;4)$ графіку не належать.
Отже, графіком функції є парабола з «виколотими» точками $(-3;4)$ і $(2;4)$.