№ 18.32 Алгебра = № 35.32 Математика
Доведіть, що коли числа $a$, $b$ і $c$ є послідовними членами геометричної прогресії, то справджується рівність:
$(a+b+c)(a-b+c)=$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Розв’язок:
Якщо $a$, $b$, $c$ — послідовні члени геометричної прогресії, то $b=ka$, $c=k^{2}a$, де $k$ — знаменник геометричної прогресії.
Підставимо ці значення у ліву частину рівності:
$\left( a+ka+k^{2}a \right)\left( a-ka+k^{2}a \right)=$
$=(a+k^{2}a+ka)(a+k^{2}a-ka)$
Скористаємося формулою різниці квадратів $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$, де $x=a+k^{2}a$, а $y=ka$:
$(a+k^{2}a)^{2}-(ka)^{2}=$
$=a^{2}+2a^{2}k^{2}+k^{4}a^{2}-k^{2}a^{2}$
Зведемо подібні доданки:
$a^{2}+k^{2}a^{2}+k^{4}a^{2}=$
$=a^{2}+(ka)^{2}+(k^{2}a)^{2}=$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Отже, $(a+b+c)(a-b+c)=$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}$, що й треба було довести.