№ 18.38 Алгебра = № 35.38 Математика
Відомо, що $x_{1}$ і $x_{2}$ — корені рівняння $5x^{2}+7x-9=0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть $x_{1}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{1}$.
Розв’язок:
Оскільки $x_{1}$ і $x_{2}$ — корені рівняння $5x^{2}+7x-9=0$, то $x_{1}x_{2}=-\frac{9}{5}$, $x_{1}+x_{2}=-\frac{7}{5}$ за теоремою Вієта.
Тоді $x_{1}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{1}=x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=$
$=-\frac{9}{5}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2})=$
$=-\frac{9}{5}((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2})=$
$=-\frac{9}{5}\left( \left(-\frac{7}{5} \right)^{2}-2\cdot\left(-\frac{9}{5} \right) \right)=$
$=-\frac{9}{5}\left( \frac{49}{25}+\frac{18}{5} \right)=-\frac{9}{5}\left( \frac{49}{25}+\frac{90}{25} \right)=$
$=-\frac{9}{5}\cdot\frac{139}{25}=-\frac{1251}{125}=-10\frac{1}{125}=-10{,}008$.
Відповідь:
$-10{,}008$.