Завдання № 19.11

№ 19.11 Алгебра = № 36.11 Математика

Розв’яжіть систему рівнянь

$\begin{cases} x^{2}-y^{2}=12 \\ \frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3 \end{cases}$

З другого рівняння системи, враховуючи, що $x\neq0$ та $y\neq0$, зведемо дроби до спільного знаменника:

$\frac{x^{2}+2y^{2}}{xy}=3$

$x^{2}+2y^{2}=3xy$

$x^{2}-3xy+2y^{2}=0$

Поділимо обидві частини рівняння на $y^{2}$ (оскільки $y\neq0$):

$\left( \frac{x}{y} \right)^{2}-3\left( \frac{x}{y} \right)+2=0$

Нехай $t=\frac{x}{y}$, тоді:

$t^{2}-3t+2=0$

За теоремою Вієта: $t_{1}=1$, $t_{2}=2$.

1) Якщо $t=1$, то $\frac{x}{y}=1$, тобто $x=y$.

Підставимо у перше рівняння:

$x^{2}-x^{2}=12$

$0=12$

Рівняння не має розв’язків.

2) Якщо $t=2$, то $\frac{x}{y}=2$, тобто $x=2y$.

Підставимо у перше рівняння:

$(2y)^{2}-y^{2}=12$

$4y^{2}-y^{2}=12$

$3y^{2}=12$

$y^{2}=4$

$y_{1}=2,y_{2}=-2$

Якщо $y_{1}=2$, то $x_{1}=2\cdot2=4$.

Якщо $y_{2}=-2$, то $x_{2}=2\cdot(-2)=-4$.

$(4;2)$, $(-4;-2)$.