Завдання № 20.15

№ 20.15 Алгебра = № 37.15 Математика

Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) $S_{8}$, якщо $b_{3}=\frac{1}{4}$, $b_{4}=\frac{1}{8}$;

2) $S_{5}$, якщо $b_{1}=5$, $b_{3}=45$, $q>0$;

3) $S_{4}$, якщо $b_{2}=8$, $b_{4}=2$, $q<0$;

4) $S_{7}$, якщо $b_{1}=5$, $b_{4}=40$.

1) Знайдемо $q$ і $b_{1}$:

$q=\frac{b_{4}}{b_{3}}=\frac{1}{8}\ :\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

$b_{1}=\frac{b_{3}}{q^{2}}=\frac{1}{4}\ :\frac{1}{4}=1$

$S_{8}=\frac{1\cdot(1-(\frac{1}{2})^{8})}{1-\frac{1}{2}}=$

$=\frac{1-\frac{1}{256}}{\frac{1}{2}}=\frac{255}{256}\ :\frac{1}{2}=$

$=\frac{255\cdot2}{256}=1\frac{127}{128}$

2) Знайдемо $q$:

$b_{3}=b_{1}\cdot q^{2}$, звідси

$q^{2}=\frac{b_{3}}{b_{1}}=\frac{45}{5}=9$

За умовою $q>0$, тому $q=3$.

$S_{5}=\frac{5\cdot\left( 1-3^{5} \right)}{1-3}=$

$=\frac{5\cdot(1-243)}{-2}=\frac{5\cdot242}{2}=605$

3) Оскільки $b_{4}=b_{1}q^{3}=b_{2}q^{2}$, то

$q^{2}=\frac{b_{4}}{b_{2}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$

За умовою $q<0$, тому $q=-\frac{1}{2}$.

$b_{1}=\frac{b_{2}}{q}=\frac{8}{-\frac{1}{2}}=-16$

$S_{4}=\frac{-16\cdot(1-(-\frac{1}{2})^{4})}{1-\left(-\frac{1}{2} \right)}=$

$=\frac{-16\cdot\left( 1-\frac{1}{16} \right)}{\frac{3}{2}}=\frac{-16\cdot\frac{15}{16}}{3}\cdot2=$

$=-\frac{30}{3}=-10$

4) $b_{4}=b_{1}q^{3}$, звідси

$q^{3}=\frac{b_{4}}{b_{1}}=\frac{40}{5}=8$

$q=2$

$S_{7}=\frac{5\cdot\left( 1-2^{7} \right)}{1-2}=$

$=\frac{5\cdot(1-128)}{-1}=5\cdot127=635$

1) $1\frac{127}{128}$; 2) $605$; 3) $-10$; 4) $635$.