№ 20.15 Алгебра = № 37.15 Математика
Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:
1) $S_{8}$, якщо $b_{3}=\frac{1}{4}$, $b_{4}=\frac{1}{8}$;
2) $S_{5}$, якщо $b_{1}=5$, $b_{3}=45$, $q>0$;
3) $S_{4}$, якщо $b_{2}=8$, $b_{4}=2$, $q<0$;
4) $S_{7}$, якщо $b_{1}=5$, $b_{4}=40$.
Розв’язок:
1) $b_{3}=\frac{1}{4}$, $b_{4}=\frac{1}{8}$. Знайдемо $q$ і $b_{1}$:
$q=\frac{b_{4}}{b_{3}}=\frac{1}{8}\ :\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
$b_{1}=\frac{b_{3}}{q^{2}}=\frac{1}{4}\ :\frac{1}{4}=1$
$S_{8}=\frac{1\cdot(1-(\frac{1}{2})^{8})}{1-\frac{1}{2}}=$
$=\frac{1-\frac{1}{256}}{\frac{1}{2}}=\frac{255}{256}\ :\frac{1}{2}=$
$=\frac{255\cdot2}{256}=1\frac{127}{128}$
2) $b_{1}=5$, $b_{3}=45$, $q>0$. Знайдемо $q$:
$b_{3}=b_{1}\cdot q^{2}$, звідси
$q^{2}=\frac{b_{3}}{b_{1}}=\frac{45}{5}=9$
$q=3$
$S_{5}=\frac{5\cdot\left( 1-3^{5} \right)}{1-3}=$
$=\frac{5\cdot(1-243)}{-2}=\frac{5\cdot242}{2}=605$
3) $b_{2}=8$, $b_{4}=2$, $q<0$. Знайдемо:
$b_{3}^{2}=b_{2}\cdot b_{4}=8\cdot2=16$
$b_{3}=-4$, тоді
$q=\frac{b_{3}}{b_{1}}=-\frac{1}{2}$
$b_{1}=\frac{b_{2}}{q}=\frac{8}{-\frac{1}{2}}=-16$
$S_{4}=\frac{-16\cdot(1-(-\frac{1}{2})^{4})}{1-\left(-\frac{1}{2} \right)}=$
$=\frac{-16\cdot\left( 1-\frac{1}{16} \right)}{\frac{3}{2}}=\frac{-16\cdot\frac{15}{16}}{3}\cdot2=$
$=-\frac{30}{3}=-10$
4) $b_{1}=5$, $b_{4}=40$, $b_{4}=b_{1}\cdot q^{n}$; $q^{3}=\frac{b_{4}}{b_{1}}=\frac{40}{5}=8$;
$q=2$
$S_{7}=\frac{5\cdot\left( 1-2^{7} \right)}{1-2}=$
$=\frac{5\cdot(1-128)}{-1}=5\cdot127=635$