Завдання № 20.16

№ 20.16 Алгебра = № 37.16 Математика

Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія. Знайдіть:

1) $S_{7}$, якщо $b_{2}=\frac{1}{3}$, $b_{3}=\frac{1}{9}$;

2) $S_{8}$, якщо $b_{1}=9$, $b_{3}=36$, $q>0$;

3) $S_{4}$, якщо $b_{2}=25$, $b_{4}=1$, $q<0$;

4) $S_{6}$, якщо $b_{1}=1$, $b_{4}=27$.

1) Знайдемо $b_{1}$ і $q$:

$q=\frac{b_{3}}{b_{2}}=\frac{1}{9}\ :\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

$b_{1}=\frac{b_{2}}{q}=\frac{1}{3}\ :\frac{1}{3}=1$

$S_{7}=\frac{1\cdot(1-(\frac{1}{3})^{7})}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-\frac{1}{2187}}{\frac{2}{3}}=$

$=3\cdot\frac{2186}{2187}\ :2=\frac{2186}{2\cdot729}=$

$=\frac{1093}{729}=1\frac{364}{729}$

2) Знайдемо $q$:

$q^{2}=\frac{b_{3}}{b_{1}}=\frac{36}{9}=4$

$q=2$

$S_{8}=\frac{9\cdot\left( 1-2^{8} \right)}{1-2}=$

$=\frac{9\cdot(1-256)}{-1}=9\cdot255=2295$

3) Знайдемо $q$ і $b_{1}$:

$b_{4}=b_{1}\cdot q^{3}=b_{2}\cdot q^{2}$

$q^{2}=\frac{b_{4}}{b_{2}}=\frac{1}{25}$

$q=-\frac{1}{5}$

$b_{1}=\frac{b_{2}}{q}=25\ :(-\frac{1}{5})=-125$

$S_{4}=\frac{-125\cdot(1-(-\frac{1}{5})^{4})}{1-\left(-\frac{1}{5} \right)}=$

$=\frac{-125\cdot\left( 1-\frac{1}{625} \right)}{\frac{6}{5}}=\frac{-125\cdot\frac{624}{625}\cdot5}{6}=$

$=\frac{-624}{6}=-104$

4) Знайдемо $q$:

$b_{4}=b_{1}\cdot q^{3}$

$q^{3}=\frac{27}{1}=27$

$q=3$

$S_{6}=\frac{1\cdot\left( 1-3^{6} \right)}{1-3}=$

$=\frac{1-729}{-2}=\frac{-728}{-2}=364$

1) $1\frac{364}{729}$; 2) $2295$; 3) $-104$; 4) $364$.