№ 20.19 Алгебра = № 37.19 Математика
Скоротіть дріб:
1) $\frac{1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+x^{8}}{x^{10}-1}$
2) $\frac{1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}}{x^{6}-1}$
Розв’язок:
1) Доданки чисельника є послідовними членами геометричної прогресії, у якій $b_{1}=1$, $q=x^{2}$, $b_{5}=x^{8}$.
З умови випливає, що $x^{2}\neq1$, тобто $q\neq1$.
Скористаємося формулою $S_{n}=\frac{b_{n}q-b_{1}}{q-1}$, тоді маємо:
$\frac{x^{8}\cdot x^{2}-1}{x^{2}-1}\ :(x^{10}-1)=$
$=\frac{x^{10}-1}{(x^{2}-1)(x^{10}-1)}=$
$=\frac{1}{x^{2}-1}$
2) Доданки чисельника є послідовними членами геометричної прогресії, у якій $b_{1}=1$, $q=-x$, $b_{6}=-x^{5}$.
З умови випливає, що $x\neq-1$, тобто $q\neq1$.
Скористаємося формулою $S_{n}=\frac{b_{n}q-b_{1}}{q-1}$, тоді маємо:
$\frac{-x^{5}\cdot(-x)-1}{-x-1}\ :(x^{6}-1)=$
$=-\frac{x^{6}-1}{(x+1)(x^{6}-1)}=$
$=-\frac{1}{x+1}$
Відповідь:
1) $\frac{1}{x^{2}-1}$; 2) $-\frac{1}{x+1}$.