№ 20.20 Алгебра = № 37.20 Математика
Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, $b_{2}=125$, $b_{4}=5$. Знайдіть $S_{5}$.
Розв’язок:
$b_{4}=b_{1}q^{3}=b_{2}q^{2}$, $5=125\cdot q^{2}$, $q^{2}=\frac{5}{125}$,
$q=\frac{1}{5}$ або $q=-\frac{1}{5}$, $b_{1}=\frac{b_{2}}{q}=\frac{125}{\frac{1}{5}}=625$ або
$b_{1}=\frac{125}{-\frac{1}{5}}=-625$.
Якщо $q=\frac{1}{5}$:
$S_{5}=\frac{b_{1}\cdot(1-q^{5})}{1-q}=\frac{625\cdot(1-(\frac{1}{5})^{5})}{1-\frac{1}{5}}=$
$=\frac{625\cdot(1-\frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}}=\frac{625\cdot\frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}=781$
Якщо $q=-\frac{1}{5}$:
$S_{5}=\frac{-625\cdot(1-(-\frac{1}{5})^{5})}{1-(-\frac{1}{5})}=$
$=\frac{-625\cdot(1+\frac{1}{3125})}{\frac{6}{5}}=\frac{-625\cdot\frac{3126}{3125}}{\frac{6}{5}}=$
$=-\frac{3126}{5}\cdot\frac{5}{6}=-521$
Відповідь:
$781$ або $-521$.