№ 20.22 Алгебра = № 37.22 Математика
(З книжки Я. І. Перельмана «Жива математика», 1967 р.)
Один чоловік запропонував багатію таку угоду: чоловік щодня протягом місяця сплачуватиме багатію по $100\, 000$ карбованців, а багатій сплачуватиме цьому чоловікові: першого дня — $1$ копійку, другого — $2$ копійки, третього — $4$ копійки, четвертого — $8$ копійок і далі в той самий спосіб. Угода діятиме рівно $30$ днів. Багатій погодився. Хто з них виграє за такої угоди? Візьміть до уваги, що $1$ карбованець = $100$ копійок.
Розв’язок:
Чоловік за $30$ днів заплатить:
$30\cdot100\, 000=3\, 000\, 000$ карбованців.
Багатій має сплатити суму членів геометричної прогресії, де $b_{1}=1$ (копійка), $q=2$, $n=30$:
$S_{30}=\frac{b_{1}\left( q^{30}-1 \right)}{q-1}=$
$=\frac{1\cdot(2^{30}-1)}{2-1}=2^{30}-1$
Обчислимо $2^{30}-1$:
$2^{10}=1024$
$2^{30}=(1024)^{3}=1\, 073\, 741\, 824$
$S_{30}=1\, 073\, 741\, 824-1=1\, 073\, 741\, 823$ копійки.
Переведемо у карбованці:
$1\, 073\, 741\, 823\ :100=10\, 737\, 418{,}23$ карбованця.
За такої угоди виграв чоловік, який запропонував угоду. Багатій отримав $3\, 000\, 000$ карбованців, а заплатив $10\, 737\, 418{,}23$ карбованця.