Завдання № 20.24

№ 20.24 Алгебра = № 37.24 Математика

Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, $b_{6}-b_{4}=48$, $b_{3}-b_{5}=24$. Знайдіть $S_{5}$.

$\begin{cases} b_{6}-b_{4}=48 \\ b_{3}-b_{5}=24 \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}q^{5}-b_{1}q^{3}=48 \\ b_{1}q^{2}-b_{1}q^{4}=24 \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}q^{3}(q^{2}-1)=48 \\ b_{1}q^{2}(1-q^{2})=24 \end{cases}$

$ \begin{cases} b_{1}q^{3}(q^{2}-1)=48 \\ b_{1}q^{2}(1-q^{2})=24 \end{cases}$

Поділимо перше рівняння на друге:

$\frac{b_{1}q^{3}(q^{2}-1)}{-b_{1}q^{2}(q^{2}-1)}=\frac{48}{24}$

$-q=2 \Longrightarrow q=-2$

Підставимо $q=-2$ у друге рівняння:

$b_{1}\cdot(-2)^{2}\cdot(1-(-2)^{2})=24$

$b_{1}\cdot4\cdot(1-4)=24$

$b_{1}\cdot4\cdot(-3)=24$

$-12b_{1}=24 \Longrightarrow b_{1}=-2$

Знайдемо суму п’яти перших членів $S_{5}$:

$S_{5}=\frac{b_{1}\left( 1-q^{5} \right)}{1-q}=$

$=\frac{-2\cdot(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}=\frac{-2\cdot(1+32)}{3}=$

$=\frac{-2\cdot33}{3}=-22$

$-22$.