№ 20.24 Алгебра = № 37.24 Математика
Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, $b_{6}-b_{4}=48$, $b_{3}-b_{5}=24$. Знайдіть $S_{5}$.
Розв’язок:
$\begin{cases} b_{6}-b_{4}=48 \\ b_{3}-b_{5}=24 \end{cases}\ \Longrightarrow \begin{cases} b_{1}q^{5}-b_{1}q^{3}=48 \\ b_{1}q^{2}-b_{1}q^{4}=24 \end{cases}$
$\begin{cases} b_{1}q^{3}\left( q^{2}-1 \right)=48 \\ b_{1}q^{2}\left( 1-q^{2} \right)=24 \end{cases}\ \Longrightarrow \begin{cases} b_{1}q^{3}\left( q^{2}-1 \right)=48 \\-b_{1}q^{2}\left( q^{2}-1 \right)=24 \end{cases}$
Поділимо перше рівняння на друге:
$\frac{b_{1}q^{3}\left( q^{2}-1 \right)}{-b_{1}q^{2}\left( q^{2}-1 \right)}=\frac{48}{24}$
$-q=2 \Longrightarrow q=-2$
Підставимо $q=-2$ у друге рівняння:
$b_{1}\cdot(-2)^{2}\cdot\left( 1-(-2)^{2} \right)=24$
$b_{1}\cdot4\cdot(1-4)=24$
$b_{1}\cdot4\cdot(-3)=24$
$-12b_{1}=24 \Longrightarrow b_{1}=-2$
Знайдемо суму п’яти перших членів $S_{5}$:
$S_{5}=\frac{b_{1}\left( 1-q^{5} \right)}{1-q}=$
$=\frac{-2\cdot\left( 1-(-2)^{5} \right)}{1-(-2)}=\frac{-2\cdot(1+32)}{3}=$
$=\frac{-2\cdot33}{3}=-22$
Відповідь:
$-22$.