№ 20.25 Алгебра = № 37.25 Математика
Друзі Марічка та Павло, кожен окремо, зареєстрували ФОП.
Марічка першого місяця отримала прибуток $60\, 000$ грн, а кожного наступного місяця — на $5\,\%$ більше, ніж попереднього. Павло першого місяця також отримав прибуток $60\, 000$ грн, а кожного наступного місяця — на $5000$ грн більше, ніж попереднього.
1) Хто з друзів отримав більший загальний прибуток за пів року; на скільки? (Відповідь округліть до тисяч гривень.)
2) Як зміниться відповідь на перше запитання, якщо в перший місяць кожен із підприємців отримав прибуток $100\, 000$ грн?
3) Зробіть висновки.
Розв’язок:
1) Прибуток Марічки утворює геометричну прогресію з $b_{1}=60\, 000$ та $q=1{,}05$. Сума за $n=6$ місяців:
$S_{6}=\frac{b_{1}(q^{6}-1)}{q-1}=\frac{60\, 000(1{,}05^{6}-1)}{1{,}05-1}\approx\frac{60\, 000(1{,}3401-1)}{0{,}05}\approx408\, 120\text{ грн.}$
Прибуток Павла утворює арифметичну прогресію з $a_{1}=60\, 000$ та $d=5000$. Сума за $n=6$ місяців:
$S_{6}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n=$
$=\frac{2\cdot60\, 000+5000\cdot5}{2}\cdot6=$
$=(120\, 000+25\, 000)\cdot3=435\, 000\text{ грн.}$
Різниця: $435\, 000-408\, 000=27\, 000$ грн. Павло отримав більший прибуток на $27\, 000$ грн.
2) Якщо $a_{1}=b_{1}=100\, 000$:
Марічка: $S_{6}=\frac{100\, 000(1{,}05^{6}-1)}{0{,}05}\approx680\, 200$ грн.
Павло: $S_{6}=\frac{2\cdot100\, 000+25\, 000}{2}\cdot6=$
$=225\, 000\cdot3=675\, 000$ грн.
Різниця: $680\, 000-675\, 000=5000$ грн. Марічка отримала більший прибуток на $5000$ грн.
3) Висновок: при малих початкових значеннях арифметична прогресія з великою різницею ($d$) може випереджати геометричну, але при зростанні початкового капіталу геометрична прогресія (завдяки відсотковому зростанню) стає вигіднішою.
Відповідь:
1) Павло, на $27\, 000$ грн.
2) Марічка, на $5000$ грн.