№ 20.31 Алгебра = № 37.31 Математика
Доведіть, що значення виразу
$\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\left( \frac{a}{a^{2}-25}-\frac{a-8}{a^{2}-10a+25} \right)$
є додатним, якщо $a<-5$.
Розв’язок:
$\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\left( \frac{a}{a^{2}-25}-\frac{a-8}{a^{2}-10a+25} \right)=$
$=\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\left( \frac{a(a+5)-(a+5)(a-8)}{(a-5)^{2}(a+5)} \right)=$
$=\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\left( \frac{a^{2}-5a-a^{2}+3a+40}{(a-5)^{2}(a+5)} \right)=$
$=\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\frac{-2(a-20)}{(a-5)^{2}(a+5)}=$
$=\frac{(a-20)(a-5)^{2}(a+5)}{(a-5)^{2}\cdot(-2)\cdot(a-20)}=\frac{a+5}{-2}$
Якщо $a<-5$, то $a+5<0$. Оскільки чисельник від’ємний і знаменник від’ємний, то їх частка є додатною:
$\frac{a+5}{-2}>0$
що й треба було довести.