№ 20.32 Алгебра = № 37.32 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь
$\begin{cases} \frac{y}{2x}-\frac{x}{y}=\frac{1}{2} \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
Розв’язок:
$\begin{cases} \frac{y}{2x}-\frac{x}{y}=\frac{1}{2} \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
Нехай $\frac{x}{y}=t$, тоді $\frac{y}{x}=\frac{1}{t}$.
Тоді $\frac{1}{2t}-t=\frac{1}{2}$.
$1-2t^{2}=t$
$2t^{2}+t-1=0$
$D=1+2\cdot4=9$
$t_{1}=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}$
$t_{2}=\frac{-1-3}{4}=-1$
Якщо $t=\frac{1}{2}$, то $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$, звідки $y=2x$.
Підставимо у друге рівняння:
$4x^{2}-5x(2x)+2x^{2}=32$
$4x^{2}-10x^{2}+2x^{2}=32$
$-4x^{2}=32$
Рівняння не має дійсних коренів.
Якщо $t=-1$, то $\frac{x}{y}=-1$, звідки $y=-x$.
Підставимо у друге рівняння:
$x^{2}-5x(-x)+2x^{2}=32$
$x^{2}+5x^{2}+2x^{2}=32$
$8x^{2}=32$
$x^{2}=4$
$x=2$ або $x=-2$
Якщо $x=2$, то $y=-2$.
Якщо $x=-2$, то $y=2$.
Відповідь:
$(2;-2)$, $(-2;2)$.