№ 20.5 Алгебра = № 37.5 Математика
Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії:
1) $16$; $-8$; $4$; …;
2) $1{,}5$; $3$; $6$; …;
3) $4$; $4^{2}$; $4^{3}$; …;
4) $\sqrt{3}$; $3$; $3\sqrt{3}$; ….
Розв’язок:
1) За умовою $b_{1}=16$; $b_{2}=-8$;
$q=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$
Тоді:
$S_{4}=\frac{16\cdot(1-(-\frac{1}{2})^{4})}{1-\left(-\frac{1}{2} \right)}=$
$=\frac{16\cdot(1-\frac{1}{16})}{\frac{3}{2}}=$
$=\frac{16\cdot(\frac{15}{16})\cdot2}{3}=10$
2) $b_{1}=1{,}5$; $b_{2}=3$; $q=\frac{3}{1{,}5}=2$.
$S_{4}=\frac{1{,}5\cdot\left( 1-2^{4} \right)}{1-2}=$
$=\frac{1{,}5\cdot(-15)}{-1}=22{,}5$
3) $b_{1}=4$; $b_{2}=4^{2}$; $q=\frac{4^{2}}{4}=4$.
$S_{4}=\frac{4\cdot(1-4^{4})}{1-4}=\frac{4\cdot(-255)}{-3}=340$
4) $b_{1}=\sqrt{3}$; $b_{2}=3$; $q=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.
$S_{4}=\frac{\sqrt{3}\cdot(1-(\sqrt{3})^{4})}{1-\sqrt{3}}=$
$=\frac{\sqrt{3}\cdot(1-9)}{1-\sqrt{3}}=\frac{-8\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=$
$=\frac{8\sqrt{3}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\left( \sqrt{3}-1 \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)}=\frac{8\left( 3+\sqrt{3} \right)}{3-1}=$
$=4(3+\sqrt{3})=12+4\sqrt{3}$