№ 20.6 Алгебра = № 37.6 Математика
Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії:
1) $1{,}5$; $6$; $24$; …;
2) $-4$; $2$; $-1$; …;
3) $2$; $2^{2}$; $2^{3}$; …;
4) $2$; $\sqrt{2}$; $1$; ….
Розв’язок:
1) $b_{1}=1{,}5$; $b_{2}=6$; $q=\frac{6}{1{,}5}=4$.
Тоді:
$S_{6}=\frac{1{,}5\cdot\left( 1-4^{6} \right)}{1-4}=$
$=\frac{1{,}5\cdot(1-4096)}{-3}=$
$=\frac{1{,}5\cdot4095}{3}=2047{,}5$.
2) $b_{1}=-4$; $b_{2}=2$; $q=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$.
Тоді:
$S_{6}=\frac{-4\cdot(1-(-\frac{1}{2})^{6})}{1-\left(-\frac{1}{2} \right)}=$
$=\frac{-4\cdot(1-\frac{1}{64})}{\frac{3}{2}}=$
$=\frac{-4\cdot\frac{63}{64}}{\frac{3}{2}}=\frac{-8\cdot\frac{63}{64}}{3}=-\frac{21}{8}=-2\frac{5}{8}$.
3) $b_{1}=2$; $b_{2}=2^{2}$; $q=\frac{2^{2}}{2}=2$.
Тоді:
$S_{6}=\frac{2\cdot\left( 1-2^{6} \right)}{1-2}=\frac{2\cdot(1-64)}{-1}=$
$=2\cdot63=126$.
4) $b_{1}=2$; $b_{2}=\sqrt{2}$; $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тоді:
$S_{6}=\frac{2\cdot(1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{6})}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\cdot(1-\frac{8}{64})}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=$
$=\frac{4\cdot(\frac{56}{64})}{2-\sqrt{2}}=\frac{\frac{56}{16}}{2-\sqrt{2}}=\frac{56}{16(2-\sqrt{2})}=$
$=\frac{7}{2\left( 2-\sqrt{2} \right)}=\frac{7\left( 2+\sqrt{2} \right)}{2(4-2)}=$
$=\frac{7(2+\sqrt{2})}{4}=3{,}5+1{,}75\sqrt{2}$.