Завдання № 21.11

№ 21.11 Алгебра = № 38.11 Математика

Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:

1) $5\sqrt{2}$, $5$, $\frac{5\sqrt{2}}{2}$, …;

2) $\frac{1}{4-2\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2+\sqrt{2}}$, …

Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:

$S=\frac{b_{1}}{1-q}$

де $b_{1}$ — перший член прогресії, $q$ — знаменник прогресії ($|q|<1$).

1) $b_{1}=5\sqrt{2}$.

Знайдемо знаменник $q$:

$q=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Оскільки $|q|<1$, сума дорівнює:

$S=\frac{5\sqrt{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на $(2+\sqrt{2})$:

$S=\frac{10\sqrt{2}\left( 2+\sqrt{2} \right)}{\left( 2-\sqrt{2} \right)\left( 2+\sqrt{2} \right)}=$

$=\frac{20\sqrt{2}+20}{4-2}=\frac{20\left( \sqrt{2}+1 \right)}{2}=$

$=10(\sqrt{2}+1)=10\sqrt{2}+10$

2) $b_{1}=\frac{1}{4-2\sqrt{2}}$.

Знайдемо знаменник $q$:

$q=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4-2\sqrt{2}}}=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}$

Оскільки $|q|=|2-\sqrt{2}|\approx|2-1{,}41|=0{,}59<1$, сума дорівнює:

$S=\frac{\frac{1}{4-2\sqrt{2}}}{1-\left( 2-\sqrt{2} \right)}=\frac{1}{\left( 4-2\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)}=$

$=\frac{1}{4\sqrt{2}-4-2\cdot2+2\sqrt{2}}=\frac{1}{6\sqrt{2}-8}$

Позбудемося ірраціональності:

$S=\frac{6\sqrt{2}+8}{\left( 6\sqrt{2}-8 \right)\left( 6\sqrt{2}+8 \right)}=$

$=\frac{6\sqrt{2}+8}{36\cdot2-64}=\frac{6\sqrt{2}+8}{72-64}=$

$=\frac{6\sqrt{2}+8}{8}=\frac{3\sqrt{2}+4}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}+1$

1) $10\sqrt{2}+10$;

2) $\frac{3\sqrt{2}}{4}+1$.