№ 21.12 Алгебра = № 38.12 Математика
Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії:
1) $3\sqrt{3}$, $3$, $\sqrt{3}$, … ;
2) $1+\sqrt{5}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$, $\frac{1+\sqrt{5}}{5}$, … .
Розв’язок:
Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}$
де $b_{1}$ — перший член прогресії, $q$ — знаменник прогресії ($|q|<1$).
1) $b_{1}=3\sqrt{3}$.
Знаменник $q=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$S=\frac{3\sqrt{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=$
$=\frac{9\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}\left( 3+\sqrt{3} \right)}{9-3}=$
$=\frac{27\sqrt{3}+27}{6}=\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$
2) $b_{1}=1+\sqrt{5}$.
Знаменник $q=\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\ :(1+\sqrt{5})=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
$S=\frac{1+\sqrt{5}}{1-\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{\frac{5-\sqrt{5}}{5}}=$
$=\frac{5\left( 1+\sqrt{5} \right)}{5-\sqrt{5}}=\frac{5\left( 1+\sqrt{5} \right)\left( 5+\sqrt{5} \right)}{25-5}=$
$=\frac{5\left( 5+\sqrt{5}+5\sqrt{5}+5 \right)}{20}=\frac{10+6\sqrt{5}}{4}=$
$=\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$
Відповідь:
1) $\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$;
2) $\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$.