Завдання № 21.13

№ 21.13 Алгебра = № 38.13 Математика

Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$, якщо:

1) $b_{3}=20$, $q=\frac{1}{2}$;

2) $b_{4}=1$, $q=-\frac{1}{3}$.

Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:

$S=\frac{b_{1}}{1-q}$

де $|q|<1$.

1) Знайдемо перший член прогресії $b_{1}$ з формули $n$-го члена $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$:

$b_{3}=b_{1}\cdot q^{2}$

$20=b_{1}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2}$

$20=b_{1}\cdot\frac{1}{4}$

$b_{1}=80$

Тоді сума прогресії:

$S=\frac{80}{1-\frac{1}{2}}=\frac{80}{\frac{1}{2}}=160$

2) Знайдемо перший член прогресії $b_{1}$:

$b_{4}=b_{1}\cdot q^{3}$

$1=b_{1}\cdot\left(-\frac{1}{3} \right)^{3}$

$1=b_{1}\cdot\left(-\frac{1}{27} \right)$

$b_{1}=-27$

Тоді сума прогресії:

$S=\frac{-27}{1-\left(-\frac{1}{3} \right)}=\frac{-27}{1+\frac{1}{3}}=$

$=\frac{-27}{\frac{4}{3}}=-27\cdot\frac{3}{4}=$

$=-\frac{81}{4}=-20{,}25$

1) $160$;

2) $-20{,}25$.