№ 21.14 Алгебра = № 38.14 Математика
Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$, якщо:
1) $b_{5}=1$, $q=\frac{1}{3}$;
2) $b_{2}=-10$, $q=-\frac{2}{3}$.
Розв’язок:
Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}$
де $|q|<1$.
1) Знайдемо перший член прогресії $b_{1}$ через формулу $n$-го члена $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$:
$b_{5}=b_{1}\cdot q^{4}$
$1=b_{1}\cdot\left( \frac{1}{3} \right)^{4}$
$1=b_{1}\cdot\frac{1}{81}$
$b_{1}=81$
Обчислимо суму:
$S=\frac{81}{1-\frac{1}{3}}=\frac{81}{\frac{2}{3}}=$
$=81\cdot\frac{3}{2}=\frac{243}{2}=121{,}5$
2) Знайдемо $b_{1}$:
$b_{2}=b_{1}\cdot q$
$-10=b_{1}\cdot\left(-\frac{2}{3} \right)$
$b_{1}=-10\cdot\left(-\frac{3}{2} \right)=15$
Обчислимо суму:
$S=\frac{15}{1-\left(-\frac{2}{3} \right)}=$
$=\frac{15}{1+\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{5}{3}}=15\cdot\frac{3}{5}=9$
Відповідь:
1) $121{,}5$;
2) $9$.