№ 21.15 Алгебра = № 38.15 Математика
Знайдіть суму, якщо $|x|<1$:
1) $1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots$
2) $x-x^{3}+x^{5}-x^{7}+\ldots$
Розв’язок:
Дані вирази є сумами нескінченно спадних геометричних прогресій, сума яких обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}$
1) Тут $b_{1}=1$, $q=x$. Оскільки $|x|<1$, сума дорівнює:
$S=\frac{1}{1-x}$
2) Тут $b_{1}=x$, $q=-x^{2}$. Оскільки $|x|<1$, то $|-x^{2}|<1$, сума дорівнює:
$S=\frac{x}{1-(-x^{2})}=\frac{x}{1+x^{2}}$
Відповідь:
1) $\frac{1}{1-x}$
2) $\frac{x}{1+x^{2}}$