Завдання № 21.16

№ 21.16 Алгебра = № 38.16 Математика

Запишіть нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:

1) $0,(3)$;

2) $0,(15)$;

3) $3{,}1111\ldots$;

4) $7{,}393939\ldots$;

5) $0{,}6(3)$;

6) $7,(25)$.

1) $0,(3)=0{,}3+0{,}03+0{,}003+\ldots$ — нескінченна геометрична прогресія, $b_{1}=0{,}3$, $q=0{,}1$ ($|q|<1$):

$0,(3)=\frac{0{,}3}{1-0{,}1}=\frac{0{,}3}{0{,}9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$

2) $0,(15)=0{,}15+0{,}0015+0{,}000015+\ldots$, $b_{1}=0{,}15$, $q=0{,}01$:

$0,(15)=\frac{0{,}15}{1-0{,}01}=$

$=\frac{0{,}15}{0{,}99}=\frac{15}{99}=\frac{5}{33}.$

3) $3{,}1111\ldots=3+0,(1)$. Для $0,(1)$: $b_{1}=0{,}1$, $q=0{,}1$:

$0,(1)=\frac{0{,}1}{1-0{,}1}=\frac{0{,}1}{0{,}9}=\frac{1}{9}.$

Отже, $3,(1)=3+\frac{1}{9}=3\frac{1}{9}$.

4) $7{,}393939\ldots=7+0,(39)$. Для $0,(39)$: $b_{1}=0{,}39$, $q=0{,}01$:

$0,(39)=\frac{0{,}39}{1-0{,}01}=$

$=\frac{0{,}39}{0{,}99}=\frac{39}{99}=\frac{13}{33}.$

Отже, $7,(39)=7\frac{13}{33}$.

5) $0{,}6(3)=0{,}6+0{,}03+0{,}003+0{,}0003+\ldots$. Період починається з другого знаку після коми: $b_{1}=0{,}03$, $q=0{,}1$:

$0{,}03+0{,}003+\ldots=\frac{0{,}03}{1-0{,}1}=$

$=\frac{0{,}03}{0{,}9}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}.$

Тоді $0{,}6(3)=0{,}6+\frac{1}{30}=$

$=\frac{18}{30}+\frac{1}{30}=\frac{19}{30}$.

6) $7,(25)=7+0,(25)$. Для $0,(25)$: $b_{1}=0{,}25$, $q=0{,}01$:

$0,(25)=\frac{0{,}25}{1-0{,}01}=\frac{0{,}25}{0{,}99}=\frac{25}{99}.$

Отже, $7,(25)=7\frac{25}{99}$.

1) $\frac{1}{3}$; 2) $\frac{5}{33}$; 3) $3\frac{1}{9}$; 4) $7\frac{13}{33}$; 5) $\frac{19}{30}$; 6) $7\frac{25}{99}$.