Завдання № 21.17

№ 21.17 Алгебра = № 38.17 Математика

Запишіть нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу:

1) $0,(7)$;

2) $0,(18)$;

3) $5{,}2222\ldots$;

4) $4{,}424242\ldots$;

5) $0{,}5(4)$;

6) $4,(28)$.

1) $0,(7)=0{,}7+0{,}07+0{,}007+\ldots$, $b_{1}=0{,}7$, $q=0{,}1$:

$0,(7)=\frac{0{,}7}{1-0{,}1}=\frac{0{,}7}{0{,}9}=\frac{7}{9}.$

2) $0,(18)=0{,}18+0{,}0018+\ldots$, $b_{1}=0{,}18$, $q=0{,}01$:

$0,(18)=\frac{0{,}18}{1-0{,}01}=$

$=\frac{0{,}18}{0{,}99}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}.$

3) $5{,}2222\ldots=5+0,(2)$. Для $0,(2)$: $b_{1}=0{,}2$, $q=0{,}1$:

$0,(2)=\frac{0{,}2}{0{,}9}=\frac{2}{9}.$

Отже, $5,(2)=5\frac{2}{9}$.

4) $4{,}424242\ldots=4+0,(42)$. Для $0,(42)$: $b_{1}=0{,}42$, $q=0{,}01$:

$0,(42)=\frac{0{,}42}{0{,}99}=\frac{42}{99}=\frac{14}{33}.$

Отже, $4,(42)=4\frac{14}{33}$.

5) $0{,}5(4)=0{,}5+0{,}04+0{,}004+\ldots$. Період починається з другого знаку: $b_{1}=0{,}04$, $q=0{,}1$:

$0{,}04+0{,}004+\ldots=$

$=\frac{0{,}04}{0{,}9}=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}.$

Тоді $0{,}5(4)=0{,}5+\frac{2}{45}=$

$=\frac{45}{90}+\frac{4}{90}=\frac{49}{90}$.

6) $4,(28)=4+0,(28)$. Для $0,(28)$: $b_{1}=0{,}28$, $q=0{,}01$:

$0,(28)=\frac{0{,}28}{0{,}99}=\frac{28}{99}.$

Отже, $4,(28)=4\frac{28}{99}$.

1) $\frac{7}{9}$;

2) $\frac{2}{11}$;

3) $5\frac{2}{9}$;

4) $4\frac{14}{33}$;

5) $\frac{49}{90}$;

6) $4\frac{28}{99}$.