Завдання № 21.18

№ 21.18 Алгебра = № 38.18 Математика

Послідовність $(b_{n})$ — нескінченна геометрична прогресія. Знайдіть:

1) $b_{5}$, якщо $S=13{,}5$, $q=\frac{1}{3}$;

2) $b_{2}$, якщо $S=49$, $b_{1}=56$.

1) Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою $S=\frac{b_{1}}{1-q}$.

Знайдемо $b_{1}$:

$13{,}5=\frac{b_{1}}{1-\frac{1}{3}}$

$13{,}5=\frac{b_{1}}{\frac{2}{3}}$

$b_{1}=13{,}5\cdot\frac{2}{3}=9$

Знайдемо $b_{5}$ за формулою $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$:

$b_{5}=9\cdot\left( \frac{1}{3} \right)^{5-1}=9\cdot\left( \frac{1}{3} \right)^{4}=9\cdot\frac{1}{81}=\frac{1}{9}$

2) Знайдемо знаменник $q$ з формули суми $S=\frac{b_{1}}{1-q}$:

$49=\frac{56}{1-q}$

$1-q=\frac{56}{49}=\frac{8}{7}$

$q=1-\frac{8}{7}=-\frac{1}{7}$

Знайдемо $b_{2}$ за формулою $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$:

$b_{2}=56\cdot\left(-\frac{1}{7} \right)^{2-1}=$

$=56\cdot\left(-\frac{1}{7} \right)=-8$

1) $\frac{1}{9}$;

2) $-8$.