Завдання № 21.20

№ 21.20 Алгебра = № 38.20 Математика

Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$, дорівнює $24$, а сума прогресії дорівнює $108$. Знайдіть четвертий член цієї прогресії.

Нехай $b_{1}$ — перший член прогресії, $q$ — знаменник.

Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} b_{1}q=24 \\ \frac{b_{1}}{1-q}=108 \end{cases}$

З першого рівняння $b_{1}=\frac{24}{q}$. Підставимо у друге:

$\frac{24}{q(1-q)}=108$

$24=108q-108q^{2}$

$108q^{2}-108q+24=0$

Поділимо на $12$:

$9q^{2}-9q+2=0$

За теоремою Вієта або через дискримінант ($D=81-72=9$):

$q_{1}=\frac{9+3}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

$q_{2}=\frac{9-3}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

1) Якщо $q=\frac{2}{3}$, то $b_{1}=\frac{24}{\frac{2}{3}}=36$.

Четвертий член $b_{4}=b_{1}q^{3}=36\cdot(\frac{2}{3})^{3}=$

$=36\cdot\frac{8}{27}=\frac{4\cdot8}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$.

2) Якщо $q=\frac{1}{3}$, то $b_{1}=\frac{24}{\frac{1}{3}}=72$.

Четвертий член $b_{4}=b_{1}q^{3}=72\cdot(\frac{1}{3})^{3}=$

$=72\cdot\frac{1}{27}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$.

$10\frac{2}{3}$ або $2\frac{2}{3}$.