Завдання № 21.21

№ 21.21 Алгебра = № 38.21 Математика

Другий член нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$, дорівнює $36$, а сума прогресії дорівнює $144$. Знайдіть п’ятий член цієї прогресії.

Нехай $b_{1}$ — перший член прогресії, $q$ — знаменник.

Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} b_{2}=b_{1}q=36 \\ S=\frac{b_{1}}{1-q}=144 \end{cases}$

З першого рівняння $b_{1}=\frac{36}{q}$. Підставимо у друге:

$\frac{36}{q(1-q)}=144$

$\frac{36}{q-q^{2}}=144$

$144(q-q^{2})=36$

$4(q-q^{2})=1$

$4q-4q^{2}=1$

$4q^{2}-4q+1=0$

$(2q-1)^{2}=0$

$q=0{,}5$

Знайдемо $b_{1}$:

$b_{1}=\frac{36}{0{,}5}=72$

Знайдемо п’ятий член прогресії $b_{5}=b_{1}q^{4}$:

$b_{5}=72\cdot(0{,}5)^{4}=72\cdot0{,}0625=4{,}5$

$4{,}5$.