№ 21.22 Алгебра = № 38.22 Математика
У рівносторонній трикутник вписано другий трикутник, вершинами якого є середини сторін першого. У другий трикутник у той самий спосіб вписано третій, і далі в такій само послідовності. Знайдіть суму периметрів усіх трикутників, якщо сторона першого дорівнює $a$ см.
Розв’язок:
Периметр першого рівностороннього трикутника зі стороною $a$ дорівнює $P_{1}=3a$.
Оскільки вершинами другого трикутника є середини сторін першого, то за властивістю середньої лінії трикутника сторона другого трикутника дорівнює $\frac{a}{2}$. Його периметр:
$P_{2}=3\cdot\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$
Сторона третього трикутника дорівнює половині сторони другого, тобто $\frac{a}{4}$. Його периметр:
$P_{3}=3\cdot\frac{a}{4}=\frac{3a}{4}$
Периметри трикутників утворюють нескінченну геометричну прогресію, у якій перший член $b_{1}=3a$, а знаменник $q=\frac{1}{2}$. Оскільки $|q|<1$, сума такої прогресії обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}$
Підставимо значення:
$S=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3a}{\frac{1}{2}}=6a$
Відповідь:
$6a$ см.