№ 21.23 Алгебра = № 38.23 Математика
У квадрат, сторона якого дорівнює $c$ см, вписано другий квадрат так, що його вершини є серединами сторін першого. У другий квадрат у той самий спосіб вписано третій квадрат, і далі в такій само послідовності. Знайдіть суму площ усіх таких квадратів.
Розв’язок:
Площа першого квадрата $S_{1}=c^{2}$.
Сторона другого квадрата за теоремою Піфагора дорівнює $\sqrt{(\frac{c}{2})^{2}+(\frac{c}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+\frac{c^{2}}{4}}=$
$=\sqrt{\frac{c^{2}}{2}}=\frac{c}{\sqrt{2}}$.
Тоді площа другого квадрата $S_{2}=(\frac{c}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{c^{2}}{2}$.
Площа кожного наступного квадрата вдвічі менша за попередню, тому площі квадратів утворюють нескінченну геометричну прогресію зі знаменником $q=\frac{1}{2}$ та першим членом $b_{1}=c^{2}$.
Сума площ усіх квадратів:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{c^{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{c^{2}}{\frac{1}{2}}=2c^{2}$
Відповідь:
$2c^{2}$ см$^{2}$.