№ 21.24 Алгебра = № 38.24 Математика
Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний періодичний десятковий дріб:
1) $3{,}27(3)$;
2) $6{,}40(30)$.
Розв’язок:
1) $3{,}27(3)=3{,}27+0{,}003+0{,}0003+0{,}00003+\ldots$. Періодична частина починається з третього знаку після коми. Маємо нескінченну геометричну прогресію: $b_{1}=0{,}003$, $q=0{,}1$:
$0{,}003+0{,}0003+\ldots=$
$=\frac{0{,}003}{1-0{,}1}=\frac{0{,}003}{0{,}9}=\frac{3}{900}=\frac{1}{300}.$
Тоді $3{,}27(3)=3{,}27+\frac{1}{300}=$
$=\frac{327}{100}+\frac{1}{300}=\frac{981}{300}+\frac{1}{300}=$
$=\frac{982}{300}=\frac{491}{150}=3\frac{41}{150}$.
2) $6{,}40(30)=6{,}40+0{,}0030+0{,}000030+\ldots$. Періодична частина «30» починається з третього знаку після коми. Маємо геометричну прогресію: $b_{1}=0{,}003$, $q=0{,}01$:
$0{,}003+0{,}000030+0{,}00000030+\ldots$
Точніше, періодична частина — це $0{,}0030303\ldots=0{,}003+0{,}00003+0{,}0000003+\ldots$, $b_{1}=0{,}003$, $q=0{,}01$:
$\frac{0{,}003}{1-0{,}01}=\frac{0{,}003}{0{,}99}=\frac{3}{990}=\frac{1}{330}.$
Тоді $6{,}40(30)=6{,}4+\frac{1}{330}=\frac{6{,}4\cdot330+1}{330}=$
$=\frac{2112+1}{330}=\frac{2113}{330}=6\frac{133}{330}$.
Відповідь:
1) $3\frac{41}{150}$;
2) $6\frac{133}{330}$.