№ 21.26 Алгебра = № 38.26 Математика
Розв’яжіть рівняння, якщо $|x|<1$:
1) $\frac{1}{x}+x+x^{2}+\ldots+x^{n}+\ldots=\frac{7}{2}$
2) $1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots=\frac{13}{6}-3x$
Розв’язок:
Ліва частина рівнянь є сумою нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$. Сума такої прогресії обчислюється за формулою $S=\frac{b_{1}}{1-q}$.
1) Маємо прогресію, де $b_{1}=\frac{1}{x}$, а $q=x^{2}$ (починаючи з другого доданка). Проте, якщо розглянути вираз як $\frac{1}{x}+(x+x^{2}+\ldots)$, то сума в дужках дорівнює $\frac{x}{1-x}$.
Рівняння набуває вигляду:
$\frac{1}{x}+\frac{x}{1-x}=\frac{7}{2}$
$\frac{1-x+x^{2}}{x(1-x)}=\frac{7}{2}$
$2-2x+2x^{2}=7x-7x^{2}$
$9x^{2}-9x+2=0$
За теоремою Вієта або через дискримінант ($D=81-72=9$):
$x_{1}=\frac{9-3}{18}=\frac{1}{3}$, $x_{2}=\frac{9+3}{18}=\frac{2}{3}$.
Обидва корені задовольняють умову $|x|<1$.
2) Тут $b_{1}=1$, $q=-x$.
Сума прогресії: $S=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}$.
Рівняння:
$\frac{1}{1+x}=\frac{13}{6}-3x$
$1=(\frac{13}{6}-3x)(1+x)$
$1=\frac{13}{6}+\frac{13}{6}x-3x-3x^{2}$
$3x^{2}+\frac{5}{6}x-\frac{7}{6}=0$
$18x^{2}+5x-7=0$
$D=25-4\cdot18\cdot(-7)=$
$=25+504=529=23^{2}$.
$x_{1}=\frac{-5-23}{36}=-\frac{28}{36}=-\frac{7}{9}$, $x_{2}=\frac{-5+23}{36}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$.
Обидва корені задовольняють умову $|x|<1$.
Відповідь:
1) $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$.
2) $-\frac{7}{9}$, $\frac{1}{2}$.