Завдання № 21.26

№ 21.26 Алгебра = № 38.26 Математика

Розв’яжіть рівняння, якщо $|x|<1$:

1) $\frac{1}{x}+x+x^{2}+\ldots+x^{n}+\ldots=\frac{7}{2}$

2) $1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots=\frac{13}{6}-3x$

Суму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$, обчислюють за формулою:

$S=\frac{b_{1}}{1-q}$

1) Доданки, починаючи з другого, $x$, $x^{2}$, …, $x^{n}$, … утворюють нескінченну геометричну прогресію:

$b_{1}=x$, $q=x$, $|q|<1$. Її сума:

$x+x^{2}+\ldots+x^{n}+\ldots=\frac{x}{1-x}$

Рівняння набуває вигляду:

$\frac{1}{x}+\frac{x}{1-x}=\frac{7}{2}$

$\frac{1-x+x^{2}}{x(1-x)}=\frac{7}{2}$

$2-2x+2x^{2}=7x-7x^{2}$

$9x^{2}-9x+2=0$

Розв’яжемо рівняння через дискримінант:

$D=(-9)^{2}-4\cdot9\cdot2=81-72=9$

$x_{1}=\frac{9-3}{18}=\frac{1}{3}$, $x_{2}=\frac{9+3}{18}=\frac{2}{3}$.

Обидва корені задовольняють умову $|x|<1$.

2) Ліва частина — сума нескінченної геометричної прогресії:

$b_{1}=1$, $q=-x$, $|q|=|x|<1$.

Сума прогресії: $S=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}$.

Рівняння:

$\frac{1}{1+x}=\frac{13}{6}-3x$

$1=(\frac{13}{6}-3x)(1+x)$

$1=\frac{13}{6}+\frac{13}{6}x-3x-3x^{2}$

$3x^{2}+\frac{5}{6}x-\frac{7}{6}=0$

$18x^{2}+5x-7=0$

$D=25-4\cdot18\cdot(-7)=$

$=25+504=529=23^{2}$.

$x_{1}=\frac{-5-23}{36}=-\frac{28}{36}=-\frac{7}{9},$

$x_{2}=\frac{-5+23}{36}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.$

Обидва корені задовольняють умову $|x|<1$.

1) $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$.

2) $-\frac{7}{9}$, $\frac{1}{2}$.