№ 21.3 Алгебра = № 38.3 Математика
Перевірте, що знаменник $q$ нескінченної геометричної прогресії задовольняє умову $|q|<1$, і знайдіть суму цієї прогресії:
1) $7$; $1$; $\frac{1}{7}$; …;
2) $-1$; $-\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{16}$; …;
3) $0{,}5$; $-0{,}05$; $0{,}005$; …;
4) $-10$; $4$; $-1{,}6$; … .
Розв’язок:
Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою $S=\frac{b_{1}}{1-q}$, де $|q|<1$.
1) $b_{1}=7$, $b_{2}=1$.
$q=\frac{1}{7}$. Оскільки $|\frac{1}{7}|<1$, умова виконується.
$S=\frac{7}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{\frac{6}{7}}=\frac{49}{6}=8\frac{1}{6}$.
2) $b_{1}=-1$, $b_{2}=-\frac{1}{4}$.
$q=\frac{-\frac{1}{4}}{-1}=\frac{1}{4}$. Оскільки $|\frac{1}{4}|<1$, умова виконується.
$S=\frac{-1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{-1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}$.
3) $b_{1}=0{,}5$, $b_{2}=-0{,}05$.
$q=\frac{-0{,}05}{0{,}5}=-0{,}1$. Оскільки $|-0{,}1|<1$, умова виконується.
$S=\frac{0{,}5}{1-(-0{,}1)}=\frac{0{,}5}{1{,}1}=\frac{5}{11}$.
4) $b_{1}=-10$, $b_{2}=4$.
$q=\frac{4}{-10}=-0{,}4$. Оскільки $|-0{,}4|<1$, умова виконується.
$S=\frac{-10}{1-(-0{,}4)}=\frac{-10}{1{,}4}=$
$=-\frac{100}{14}=-\frac{50}{7}=-7\frac{1}{7}$
Відповідь:
1) $8\frac{1}{6}$; 2) $-1\frac{1}{3}$; 3) $\frac{5}{11}$; 4) $-7\frac{1}{7}$.