№ 21.4 Алгебра = № 38.4 Математика
Перевірте, що знаменник $q$ нескінченної геометричної прогресії задовольняє умову $|q|<1$, і знайдіть суму цієї прогресії:
1) $5$, $1$, $\frac{1}{5}$, …;
2) $-1$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, …;
3) $0{,}3$, $-0{,}03$, $0{,}003$, …;
4) $-16$, $2$, $-0{,}25$, ….
Розв’язок:
Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою $S=\frac{b_{1}}{1-q}$, де $|q|<1$.
1) $b_{1}=5$, $b_{2}=1$.
$q=\frac{1}{5}=0{,}2$.
Оскільки $|0{,}2|<1$, сума існує:
$S=\frac{5}{1-0{,}2}=\frac{5}{0{,}8}=6{,}25$.
2) $b_{1}=-1$, $b_{2}=-\frac{1}{3}$.
$q=\frac{-\frac{1}{3}}{-1}=\frac{1}{3}$.
Оскільки $|\frac{1}{3}|<1$, сума існує:
$S=\frac{-1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{-1}{\frac{2}{3}}=-1{,}5$.
3) $b_{1}=0{,}3$, $b_{2}=-0{,}03$.
$q=\frac{-0{,}03}{0{,}3}=-0{,}1$.
Оскільки $|-0{,}1|<1$, сума існує:
$S=\frac{0{,}3}{1-(-0{,}1)}=\frac{0{,}3}{1{,}1}=\frac{3}{11}$.
4) $b_{1}=-16$, $b_{2}=2$.
$q=\frac{2}{-16}=-0{,}125$.
Оскільки $|-0{,}125|<1$, сума існує:
$S=\frac{-16}{1-(-0{,}125)}=\frac{-16}{1{,}125}=$
$=\frac{-16}{\frac{9}{8}}=-\frac{128}{9}=-14\frac{2}{9}$.
Відповідь:
1) $6{,}25$; 2) $-1{,}5$; 3) $\frac{3}{11}$; 4) $-14\frac{2}{9}$.