№ 43 ВПР 3 Алгебра = № 43 ВПТ 8 Математика
Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника утворювати геометричну прогресію? Як так, укажіть знаменник такої прогресії.
Розв’язок:
Нехай сторони прямокутного трикутника дорівнюють $a_{1}$, $a_{1}q$, $a_{1}q^{2}$ ($a_{1}>0$, $q>0$).
Випадок 1: $q>1$. Тоді найбільша сторона — $a_{1}q^{2}$ (гіпотенуза). За теоремою Піфагора:
$a_{1}^{2}+(a_{1}q)^{2}=(a_{1}q^{2})^{2}$
$1+q^{2}=q^{4}$
$q^{4}-q^{2}-1=0$
Нехай $q^{2}=p$, тоді $p^{2}-p-1=0$, $p=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. Оскільки $p>0$, маємо $p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, тобто $q=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\approx1{,}27$.
Випадок 2: $0<q<1$. Тоді найбільша сторона — $a_{1}$ (гіпотенуза). За теоремою Піфагора:
$(a_{1}q)^{2}+(a_{1}q^{2})^{2}=a_{1}^{2}$
$q^{2}+q^{4}=1$
$q^{4}+q^{2}-1=0$
Нехай $q^{2}=p$, тоді $p^{2}+p-1=0$, $p=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$. Оскільки $p>0$, маємо $p=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, тобто $q=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\approx0{,}79$.
Відповідь:
Можуть, $q=\sqrt{\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}}$.