№ 54 ВПР 3 Алгебра = № 54 ВПТ 8 Математика
Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 14, а сума їхніх квадратів дорівнює 84. Знайдіть суму восьми перших членів цієї прогресії.
Розв’язок:
Запишемо систему рівнянь:
$\begin{cases} b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^{2}=14 \\ b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}+b_{1}^{2}q^{4}=84 \end{cases}$
$\begin{cases} b_{1}(1+q+q^{2})=14 \\ b_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4})=84 \end{cases}$
Оскільки $1+q^{2}+q^{4}=(1+q+q^{2})(1-q+q^{2})$, поділимо друге рівняння на квадрат першого:
$\frac{b_{1}^{2}\left( 1+q+q^{2} \right)\left( 1-q+q^{2} \right)}{b_{1}^{2}(1+q+q^{2})^{2}}=$
$=\frac{84}{14^{2}}$
$\frac{1-q+q^{2}}{1+q+q^{2}}=\frac{84}{196}=\frac{3}{7}$
$7\left( 1-q+q^{2} \right)=3\left( 1+q+q^{2} \right)$
$7-7q+7q^{2}=3+3q+3q^{2}$
$4q^{2}-10q+4=0$
$2q^{2}-5q+2=0$
Корені рівняння: $q_{1}=2$, $q_{2}=0{,}5$.
Якщо $q=2$:
$b_{1}(1+2+4)=14$
$7b_{1}=14$
$b_{1}=2$
$S_{8}=\frac{2\left( 2^{8}-1 \right)}{2-1}=2(256-1)=510$
Якщо $q=0{,}5$:
$b_{1}(1+0{,}5+0{,}25)=14$
$1{,}75b_{1}=14$
$b_{1}=8$
$S_{8}=\frac{8\left( 1-(0{,}5)^{8} \right)}{1-0{,}5}=\frac{8\left( 1-\frac{1}{256} \right)}{0{,}5}=$
$=16\cdot\frac{255}{256}=\frac{255}{16}=15\frac{15}{16}$
Відповідь:
$510$ або $15\frac{15}{16}$.