№ 55 ВПР 3 Алгебра = № 55 ВПТ 8 Математика
Знайдіть перший член, знаменник і кількість членів геометричної прогресії $(b_{n})$, якщо $b_{5}-b_{1}=45$, $b_{3}+b_{1}=15$, $S_{n}=-63$.
Розв’язок:
Використаємо формулу $n$-го члена геометричної прогресії $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$:
$b_{5}-b_{1}=b_{1}q^{4}-b_{1}=$
$=b_{1}(q^{4}-1)=45$
$b_{3}+b_{1}=b_{1}q^{2}+b_{1}=b_{1}(q^{2}+1)=15$
Поділимо перше рівняння на друге:
$\frac{b_{1}(q^{4}-1)}{b_{1}(q^{2}+1)}=\frac{45}{15}$
$\frac{(q^{2}-1)(q^{2}+1)}{q^{2}+1}=3$
$q^{2}-1=3$
$q^{2}=4$
Отже, $q=2$ або $q=-2$.
1) Якщо $q=2$:
$b_{1}(2^{2}+1)=15 \Rightarrow 5b_{1}=15 \Rightarrow b_{1}=3$.
Формула суми: $S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=-63$.
$\frac{3(2^{n}-1)}{2-1}=-63$
$3(2^{n}-1)=-63$
$2^{n}-1=-21$
$2^{n}=-20$
Рівняння не має розв’язків у дійсних числах.
2) Якщо $q=-2$:
$b_{1}((-2)^{2}+1)=15 \Rightarrow 5b_{1}=15 \Rightarrow b_{1}=3$.
$\frac{3((-2)^{n}-1)}{-2-1}=-63$
$\frac{3((-2)^{n}-1)}{-3}=-63$
$-((-2)^{n}-1)=-63$
$(-2)^{n}-1=63$
$(-2)^{n}=64$
Оскільки $64=(-2)^{6}$, то $n=6$.
Відповідь:
$b_{1}=3$, $q=-2$, $n=6$.