№ 56 ВПР 3 Алгебра = № 56 ВПТ 8 Математика
Знайдіть геометричну прогресію, яка складається із шести членів, якщо сума її членів з непарними номерами дорівнює 273, а сума членів з парними номерами — 1092.
Розв’язок:
Нехай геометрична прогресія має вигляд $b_{1}$, $b_{1}q$, $b_{1}q^{2}$, $b_{1}q^{3}$, $b_{1}q^{4}$, $b_{1}q^{5}$.
Сума членів з непарними номерами:
$b_{1}+b_{1}q^{2}+b_{1}q^{4}=273$
$b_{1}(1+q^{2}+q^{4})=273$
Сума членів з парними номерами:
$b_{1}q+b_{1}q^{3}+b_{1}q^{5}=1092$
$b_{1}q(1+q^{2}+q^{4})=1092$
Поділимо друге рівняння на перше:
$\frac{b_{1}q(1+q^{2}+q^{4})}{b_{1}(1+q^{2}+q^{4})}=\frac{1092}{273}$
$q=4$
Підставимо $q=4$ у перше рівняння:
$b_{1}(1+4^{2}+4^{4})=273$
$b_{1}(1+16+256)=273$
$b_{1}\cdot273=273$
$b_{1}=1$
Отже, члени прогресії:
$b_{1}=1$
$b_{2}=1\cdot4=4$
$b_{3}=4\cdot4=16$
$b_{4}=16\cdot4=64$
$b_{5}=64\cdot4=256$
$b_{6}=256\cdot4=1024$
Відповідь:
$1$, $4$, $16$, $64$, $256$, $1024$.