№ 57 ВПР 3 Алгебра = № 57 ВПТ 8 Математика
(Задача про поширення чуток із книжки Я. І. Перельмана «Жива математика», 1967 р.) У невеличке містечко, населення якого становить 50 тисяч осіб, о 8 годині ранку прибув мешканець столиці й привіз цікаву новину. О 8 год 15 хв він розповів цю новину трьом своїм знайомим, після чого ще через 15 хв кожен з них розповів новину трьом тим своїм знайомим, котрі про неї не знали. Після цього кожен з дев’яти мешканців міста, що дізналися про цю новину, розповів її трьом своїм знайомим і так само далі. О котрій годині (приблизно) про цю новину дізнаються всі мешканці міста?
Розв’язок:
Кількість мешканців містечка, що дізнаються про новину за $k$-й проміжок у 15 хвилин (перший проміжок — з 8 год до 8 год 15 хв), утворює геометричну прогресію $3$, $9$, $27$, $\ldots$ з першим членом $b_{1}=3$ і знаменником $q=3$.
Загальна кількість місцевих, які дізналися про новину протягом перших $n$ проміжків:
$S_{n}=\frac{b_{1}\left( q^{n}-1 \right)}{q-1}=$
$=\frac{3(3^{n}-1)}{3-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}.$
За умовою має виконуватися $S_{n}\geq50\, 000$:
$\frac{3^{n+1}-3}{2}\geq50\, 000$
$3^{n+1}\geq100\, 003.$
Підберемо найменше натуральне $n$, для якого виконується ця нерівність:
$3^{10}=59\, 049<100\, 003;$
$3^{11}=177\, 147>100\, 003.$
Тому $n+1=11$, тобто $n=10$.
Отже, потрібно $10$ проміжків по $15$ хвилин — це $150$ хв $=2$ год $30$ хв.
Від 8 год це о 10 год 30 хв.
Відповідь:
О $10$ год $30$ хв.