№ 62 ВПР 3 Алгебра = № 62 ВПТ 8 Математика
(Задача П. Ферма.) Доведіть, що
$\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+\frac{1}{8}+\frac{3}{32}+\ldots=\frac{7}{4}$
Розв’язок:
Згрупуємо доданки у два окремі ряди:
$\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots \right)+\left( \frac{3}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{32}+\ldots \right)$
Кожна дужка є сумою нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q=\frac{1}{2}$.
Сума такої прогресії обчислюється за формулою $S=\frac{b_{1}}{1-q}$.
Для першої дужки $b_{1}=\frac{1}{2}$, $q=\frac{1}{2}$:
$S_{1}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$
Для другої дужки $b_{1}=\frac{3}{8}$, $q=\frac{1}{2}$:
$S_{2}=\frac{\frac{3}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}}=$
$=\frac{3}{8}\cdot2=\frac{3}{4}$
Отже, сума всього ряду:
$S=S_{1}+S_{2}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$
Що й треба було довести.