№ 63 ВПР 3 Алгебра = № 63 ВПТ 8 Математика
Чи може сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником $q$, де $|q|<1$, бути меншою від її першого члена?
Розв’язок:
Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}$
За умовою задачі, сума має бути меншою за перший член:
$\frac{b_{1}}{1-q}<b_{1}$
Якщо $b_{1}>0$, поділимо обидві частини нерівності на $b_{1}$:
$\frac{1}{1-q}<1$
Оскільки $1-q>0$ (бо $|q|<1$), помножимо обидві частини на $1-q$:
$1<1-q$
$q<0$
З урахуванням умови $|q|<1$ маємо:
$-1<q<0$
Якщо $b_{1}<0$, поділимо обидві частини нерівності на $b_{1}$ і змінимо знак нерівності на протилежний:
$\frac{1}{1-q}>1$
Помножимо обидві частини на $1-q>0$:
$1>1-q$
$q>0$
З урахуванням умови $|q|<1$ маємо:
$0<q<1$
Отже, сума може бути меншою від першого члена.
Відповідь:
Так, може, якщо $b_{1}>0$ і $-1<q<0$
або $b_{1}<0$ і $0<q<1$.