№ 67 ВПР 3 Алгебра = № 67 ВПТ 8 Математика
У нескінченній геометричній прогресії перший член дорівнює $15$, а знаменник дорівнює $\frac{1}{4}$. Знайдіть суму квадратів усіх її членів.
Розв’язок:
Нехай задана геометрична прогресія $(b_{n})$ з першим членом $b_{1}=15$ та знаменником $q=\frac{1}{4}$.
Послідовність квадратів членів цієї прогресії $(b_{n}^{2})$ також є нескінченною геометричною прогресією, де перший член $b_{1}^{2}=15^{2}=225$, а знаменник $q^{2}=\left( \frac{1}{4} \right)^{2}=\frac{1}{16}$.
Оскільки $|q^{2}|=\frac{1}{16}<1$, сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}$
Підставимо значення:
$S=\frac{225}{1-\frac{1}{16}}=\frac{225}{\frac{15}{16}}=$
$=225\cdot\frac{16}{15}=15\cdot16=240$
Відповідь:
$240$.