№ 68 ВПР 3 Алгебра = № 68 ВПТ 8 Математика
Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії $(b_{n})$, у якої $|q|<1$, якщо:
1) $b_{2}=36$, $b_{4}=4$;
2) $b_{4}b_{6}=1$, $b_{3}+b_{5}=17$.
Розв’язок:
Сума нескінченної геометричної прогресії обчислюється за формулою:
$S=\frac{b_{1}}{1-q}$
1) Маємо:
$b_{2}=b_{1}q=36$
$b_{4}=b_{1}q^{3}=4$
Поділимо друге рівняння на перше:
$\frac{b_{1}q^{3}}{b_{1}q}=\frac{4}{36}$
$q^{2}=\frac{1}{9}$
Звідки $q=\frac{1}{3}$ або $q=-\frac{1}{3}$; обидва значення задовольняють умову $|q|<1$.
Якщо $q=\frac{1}{3}$, то $b_{1}=\frac{36}{\frac{1}{3}}=108$.
$S=\frac{108}{1-\frac{1}{3}}=$
$=\frac{108}{\frac{2}{3}}=108\cdot\frac{3}{2}=162$
Якщо $q=-\frac{1}{3}$, то $b_{1}=\frac{36}{-\frac{1}{3}}=-108$.
$S=\frac{-108}{1-\left(-\frac{1}{3} \right)}=\frac{-108}{\frac{4}{3}}=$
$=-108\cdot\frac{3}{4}=-81$
2) Маємо:
$b_{4}b_{6}=b_{1}q^{3}\cdot b_{1}q^{5}=b_{1}^{2}q^{8}=1$
$b_{3}+b_{5}=b_{1}q^{2}+b_{1}q^{4}=17$
З першого рівняння $b_{1}^{2}=\frac{1}{q^{8}}$, отже $b_{1}=\pm\frac{1}{q^{4}}$.
Підставимо у друге рівняння:
$\pm\frac{1}{q^{4}}(q^{2}+q^{4})=17$
$\pm\frac{1+q^{2}}{q^{2}}=17$
Якщо $b_{1}=\frac{1}{q^{4}}$:
$1+q^{2}=17q^{2}$
$16q^{2}=1$
$q^{2}=\frac{1}{16}$
$q=\frac{1}{4}$ або $q=-\frac{1}{4}$.
При $q=\frac{1}{4}$: $b_{1}=\frac{1}{\left( \frac{1}{4} \right)^{4}}=256$;
$S=\frac{256}{1-\frac{1}{4}}=\frac{256}{\frac{3}{4}}=$
$=\frac{1024}{3}=341\frac{1}{3}.$
При $q=-\frac{1}{4}$: $b_{1}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{4} \right)^{4}}=256$;
$S=\frac{256}{1-\left(-\frac{1}{4} \right)}=\frac{256}{\frac{5}{4}}=$
$=\frac{1024}{5}=204\frac{4}{5}.$
Якщо $b_{1}=-\frac{1}{q^{4}}$:
$-\left( 1+q^{2} \right)=17q^{2}$
$18q^{2}=-1$
Рівняння не має розв’язків, бо $18q^{2}\geq0$.
Відповідь:
1) $162$ або $-81$;
2) $341\frac{1}{3}$ або $204\frac{4}{5}$.