№ 23.26 Алгебра = № 47.26 Математика
Відомо, що $x_{1}$ і $x_{2}$ — корені рівняння $5x^{2}+7x-9=0$. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть $x_{1}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{1}$.
Розв’язок:
За теоремою Вієта:
$\begin{cases} x_{1}+x_{2}=-\frac{7}{5} \\ x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{9}{5} \end{cases}$
$x_{1}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{1}=x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
$x_{1}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{1}=x_{1}\cdot x_{2}((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2})=$
$=-\frac{9}{5}\cdot\left( \left(-\frac{7}{5} \right)^{2}-2\cdot\left(-\frac{9}{5} \right) \right)=$
$=-\frac{9}{5}\cdot\left( \frac{49}{25}+\frac{18}{5} \right)=-\frac{9}{5}\cdot\frac{139}{25}=$
$=-\frac{1251}{125}=-10{,}008$
Відповідь:
$-10{,}008$.