№ 24.33 Алгебра = № 48.33 Математика
Доведіть, що значення виразу
$\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\left( \frac{a}{a^{2}-25}-\frac{a-8}{a^{2}-10a+25} \right)$
додатне, якщо $a<-5$.
Розв’язок:
$\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\left( \frac{a}{(a-5)(a+5)}-\frac{a-8}{(a-5)^{2}} \right)=$
$=\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\ :\left( \frac{a(a-5)-(a-8)(a+5)}{(a-5)^{2}(a+5)} \right)=$
$=\frac{a-20}{(a-5)^{2}}\cdot\frac{(a-5)^{2}(a+5)}{a^{2}-5a-(a^{2}-3a-40)}=$
$=(a-20)\cdot\frac{a+5}{-2a+40}=$
$=(a-20)\cdot\frac{a+5}{-2(a-20)}=$
$=\frac{a+5}{-2}=-\frac{a+5}{2}$
Дослідимо знак виразу $-\frac{a+5}{2}$ при $a<-5$:
якщо $a<-5$, то $a+5<0$.
Тоді $-(a+5)>0$, отже, $-\frac{a+5}{2}>0$.
Вираз набуває додатних значень при $a<-5$.