№ 24.34 Алгебра = № 48.34 Математика
Розв’яжіть систему рівнянь
$\begin{cases} \frac{y}{2x}-\frac{x}{y}=\frac{1}{2} \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
Розв’язок:
$\begin{cases} \frac{y}{2x}-\frac{x}{y}=\frac{1}{2} \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{x}{y}=t \\ \frac{1}{2t}-t=\frac{1}{2} \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{x}{y}=t \\ 1-2t^{2}=t \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{x}{y}=t \\ 2t^{2}+t-1=0 \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{x}{y}=t \\ t_{1}=-1,t_{2}=\frac{1}{2} \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
або
$\begin{cases} y=2x \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
Розв’яжемо дві останні системи:
1)
$\begin{cases} x=-y \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y \\ y^{2}-5(-y)y+2(-y)^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y \\ 8y^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y \\ y^{2}=4 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-y \\ y=\pm2 \end{cases}$
$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$
або
$\begin{cases} x=2 \\ y=-2 \end{cases}$
2)
$\begin{cases} y=2x \\ y^{2}-5xy+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2x \\ (2x)^{2}-5x(2x)+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2x \\ 4x^{2}-10x^{2}+2x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2x \\-4x^{2}=32 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2x \\ x^{2}=-8 \end{cases}$
система розв’язків не має.
Відповідь:
$(2;-2)$, $(-2;2)$.