№ 10 ЗПС = № 10 ЗПС
Між числами $\frac{4}{7}$ і $\frac{5}{7}$ знайдіть число, що дорівнює квадрату раціонального числа. Скільки існує таких чисел?
Розв’язок:
Зведемо дроби до спільного знаменника:
$\frac{4}{7}=\frac{4\cdot7}{7\cdot7}=\frac{28}{49}=$
$=\frac{28\cdot4}{49\cdot4}=\frac{112}{196}$
$\frac{5}{7}=\frac{5\cdot7}{7\cdot7}=\frac{35}{49}=$
$=\frac{35\cdot4}{49\cdot4}=\frac{140}{196}$
Шукаємо число вигляду $x^{2}$, де $x$ — раціональне число, таке що
$\frac{112}{196}<x^{2}<\frac{140}{196}.$
Наприклад, при $x=\frac{11}{14}$ маємо:
$\left( \frac{11}{14} \right)^{2}=\frac{121}{196}$
Оскільки $\frac{112}{196}<\frac{121}{196}<\frac{140}{196}$, то $\frac{4}{7}<\left( \frac{11}{14} \right)^{2}<\frac{5}{7}$.
Таких чисел безліч. Справді, між числами $\sqrt{\frac{4}{7}}$ і $\sqrt{\frac{5}{7}}$ лежить безліч раціональних чисел $x$, і для кожного з них $\frac{4}{7}<x^{2}<\frac{5}{7}$.
Відповідь:
Наприклад, $\frac{121}{196}$; таких чисел безліч.