№ 10 ЗПС = № 10 ЗПС
Між числами $\frac{4}{7}$ і $\frac{5}{7}$ знайдіть число, що дорівнює квадрату раціонального числа. Скільки існує таких чисел?
Розв’язок:
Зведемо дроби до спільного знаменника:
$\frac{4}{7}=\frac{4\cdot7}{7\cdot7}=\frac{28}{49}=$
$=\frac{28\cdot4}{49\cdot4}=\frac{112}{196}$
$\frac{5}{7}=\frac{5\cdot7}{7\cdot7}=\frac{35}{49}=$
$=\frac{35\cdot4}{49\cdot4}=\frac{140}{196}$
Шукаємо число вигляду $x^{2}$, таке що $\frac{112}{196}<x^{2}<\frac{140}{196}$.
Наприклад, при $x=\frac{11}{14}$ маємо:
$\left( \frac{11}{14} \right)^{2}=\frac{121}{196}$
Оскільки $\frac{112}{196}<\frac{121}{196}<\frac{140}{196}$, то $\frac{4}{7}<\left( \frac{11}{14} \right)^{2}<\frac{5}{7}$.
Між будь-якими двома числами на числовій прямій існує нескінченна кількість раціональних чисел, а отже, і нескінченна кількість квадратів раціональних чисел.
Відповідь:
Існує безліч таких чисел.