№ 12 ЗПС = № 12 ЗПС
Розв’яжіть рівняння з трьома змінними:
$\frac{x+1}{\sqrt{x}}+\frac{y+1}{\sqrt{y}}+\frac{z+1}{\sqrt{z}}=6$
Розв’язок:
Оскільки для будь-якого $t>0$ виконується нерівність $\frac{t+1}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\geq2$ (за нерівністю Коші), то кожен доданок у лівій частині рівняння не менший за $2$:
$\frac{x+1}{\sqrt{x}}\geq2,\quad\frac{y+1}{\sqrt{y}}\geq2,\quad\frac{z+1}{\sqrt{z}}\geq2$
Сума трьох чисел, кожне з яких не менше за $2$, дорівнює $6$ лише тоді, коли кожне з них дорівнює $2$:
$\frac{x+1}{\sqrt{x}}=2,\quad\frac{y+1}{\sqrt{y}}=2,\quad\frac{z+1}{\sqrt{z}}=2$
Розв’яжемо рівняння $\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}=2$:
$\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}-2=0$
$\frac{(\sqrt{t})^{2}-2\sqrt{t}+1}{\sqrt{t}}=0$
$\frac{(\sqrt{t}-1)^{2}}{\sqrt{t}}=0$
$\sqrt{t}=1 \Longrightarrow t=1$
Отже, $x=1$, $y=1$, $z=1$.
Відповідь:
$x=1$, $y=1$, $z=1$.