№ 13 ЗПС = № 13 ЗПС
Доведіть нерівність:
$\left( 1+\frac{x^{2}}{yz} \right)\left( 1+\frac{y^{2}}{xz} \right)\left( 1+\frac{z^{2}}{xy} \right)\geq8$, де $x>0$, $y>0$, $z>0$
Розв’язок:
Оскільки $x,y,z>0$, за нерівністю Коші для двох чисел $a+b\geq2\sqrt{ab}$ маємо:
$1+\frac{x^{2}}{yz}\geq2\sqrt{\frac{x^{2}}{yz}}=2\frac{x}{\sqrt{yz}}$
$1+\frac{y^{2}}{xz}\geq2\sqrt{\frac{y^{2}}{xz}}=2\frac{y}{\sqrt{xz}}$
$1+\frac{z^{2}}{xy}\geq2\sqrt{\frac{z^{2}}{xy}}=2\frac{z}{\sqrt{xy}}$
Перемноживши ці три нерівності, отримаємо:
$\left( 1+\frac{x^{2}}{yz} \right)\left( 1+\frac{y^{2}}{xz} \right)\left( 1+\frac{z^{2}}{xy} \right)\geq2\frac{x}{\sqrt{yz}}\cdot2\frac{y}{\sqrt{xz}}\cdot2\frac{z}{\sqrt{xy}}=$
$=8\cdot\frac{xyz}{\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}}=8\cdot\frac{xyz}{xyz}=8$
Що і потрібно було довести.