№ 14 ЗПС = № 14 ЗПС
Відомо, що $x>0$. Знайдіть найменше значення виразу:
1) $x+\frac{4}{x}$;
2) $\frac{x^{2}+15x+36}{x}$.
Розв’язок:
1) Оскільки $x>0$, то за нерівністю Коші
$x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4,$
причому рівність досягається, коли $x=\frac{4}{x}$, тобто при $x=2$.
Отже, найменше значення виразу дорівнює 4.
2) $\frac{x^{2}+15x+36}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{15x}{x}+\frac{36}{x}=$
$=x+\frac{36}{x}+15$.
За нерівністю Коші
$x+\frac{36}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{36}{x}}=12,$
причому рівність досягається, коли $x=\frac{36}{x}$, тобто при $x=6$. Тому
$x+\frac{36}{x}+15\geq12+15=27.$
Отже, найменше значення виразу дорівнює 27.
Відповідь:
1) 4; 2) 27.