№ 15 ЗПС = № 15 ЗПС
Відомо, що $y>0$. Знайдіть найбільше значення виразу:
1) $\frac{y}{9+y^{2}}$;
2) $\frac{y^{2}}{9y^{4}+4}$.
Розв’язок:
1) Знайдемо найменше значення виразу $\frac{9+y^{2}}{y}$.
Оскільки $\frac{9+y^{2}}{y}=\frac{9}{y}+y\geq2\sqrt{\frac{9}{y}\cdot y}=6$, то вираз $\frac{9}{y}+y$ набуває найменшого значення $6$ при $y=3$.
Отже, найбільше значення виразу $\frac{y}{9+y^{2}}$ дорівнює $\frac{1}{6}$ при $y=3$.
Відповідь:
$\frac{1}{6}$.
2) Знайдемо найменше значення виразу $\frac{9y^{4}+4}{y^{2}}$.
Оскільки $\frac{9y^{4}+4}{y^{2}}=9y^{2}+\frac{4}{y^{2}}\geq2\sqrt{9y^{2}\cdot\frac{4}{y^{2}}}=12$, то вираз $9y^{2}+\frac{4}{y^{2}}$ набуває найменшого значення $12$.
Отже, найбільше значення виразу $\frac{y^{2}}{9y^{4}+4}$ дорівнює $\frac{1}{12}$.
Відповідь:
$\frac{1}{12}$.